中考复习冲刺系列——纯几何压轴选解（3）——正方形与动点

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【试题】定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm²）．

（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．

（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．

（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．

（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．

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【图文解析】

（1）本小题不做分析，只给出答案：线段AB的“对角线正方形”如图示：

（2）首先画出符合条件的图形，如下图示，当线段PB的“对角线正方形”且 有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x，

      不难得到∠1＝∠A，分别在Rt△PCE和Rt△ABC中，由tan∠1＝(4-x)/x，tan∠A=4/3，得：(4-x)/x=4/3，解得x=12/7.

      继续由cos∠1＝x/(5t)，cos∠A＝3/5，得(12/7)/(5t)＝3/5，解得t=4/7.

(当然本题用相似也可).

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(3)显然应分两种情况，当点P在AC边上（即0≤t≤1）和点P在AB边上（1＜t＜8/5）.

情况一：当点P在AC边上，即0≤t≤1时，如下图示：

      由于∠C是确定的角，相应的各个三角函数值均已确定，因此△BCP已具备“三个条件”，可以将PB用t表示，同时“线段PB的对角线正方形”的面积可以等于0.5PB².如下图示：

      在Rt△PCF中，CF＝PCcosC=5t×4/5＝4t，PF＝PcsinC=5t×3/5＝3t，进一步得到BF＝4－4t，所以在Rt△BPF中，PB²＝PF²+BF²＝…＝=25t²﹣32t+16．因此S＝0.5PB²＝12.5t²-16t+8(0≤t≤1）.

情况二：当点P在AB边上，1＜t＜8/5时，如下图示：

      不难得到PB＝3－(5t－5)= 8－5t.所以S＝0.5PB²=…＝12.5t²－40t+32(其中1＜t＜8/5).

      综上所述，

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下面还有，继续……

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(4)首先画出符合条件的图（画出正确图显然是解决本题的关键，要大胆努力去画，一次性无法完成，可以多次完成，可以慢慢调节，再逐步调到合适位置，如下图示：

下面逐个分析：

情况一：当D、E在∠BAC的平分线上时，如下图示，根据角平分线与正方形的性质，不难得到AB=AP=3，PC=2，∴t=2/5s．

情况二：当点P运动到点A时，满足条件，此时t=1s．

情况三：当点E在∠BAC的角平分线上时.

法一：根据角平分线的性质，分别作EF⊥AC于F，作EG⊥AB于一，作EH⊥BC于H，设EH＝r，如下图示，不以得到：

可得3-r+4-r=5，解得r=1.

      所以PA＝3-2r=1，进一步得到5t＝5+1，解得t=6/5.

法二：如下图示，先求m的值：

      由sinC＝m/(4-m)=3/5得m=3/2，进一步地，在△AEH和△ABF中（如下图示）

      tan∠BAF＝r/(3-r)=(3/2)/3，解得r=1，所以AP＝3-2r=1，……（下同）.

      综上所述，在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠CAB的平分线上时，t的值为 2/5s 或1s或6/5s.

【点评】本题综合考查了正方形的性质、角平分线的定义、勾股定理、平行线的性质和三角函数的定义（或相似的性质）等知识，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．

【拓展】在题干条件不变的情况下，求随着P点的运动，点E的运动路径长？

（答案：4√2.）

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